Poligono in matematica è una forma bidimensionale composta da linee rette che formano una catena poligonale chiusa. La parola poligono deriva dalle parole poly e gon, che significano molti e lati.

I poligoni possono essere semplici o autointersecanti. Un poligono semplice non si interseca se non nei punti finali condivisi di segmenti consecutivi. Una catena poligonale che si incrocia su se stessa crea un poligono autointersecante. I poligoni possono anche essere classificati come concavi o convessi.

In questo articolo, abbiamo menzionato in dettaglio i poligoni e i loro tipi, formule ed esempi.

Tabella dei contenuti

• Cosa sono i poligoni?
• Definizione del poligono
• Grafico poligonale basato sul numero di lati
• Proprietà dei poligoni
• Forme poligonali
• Tipi di poligoni
• Poligoni sulla base dei lati
• Poligoni sulla base degli angoli
• Poligoni sulla base dei confini
• Formule poligonali
• Area dei poligoni
• Perimetro dei poligoni
• Angoli nei poligoni
• Domande frequenti

Cosa sono i poligoni?

Il termine 'poligono' deriva dalla parola greca polugonos, dove 'poli' significa 'molti' e 'gon' denota 'angolo'. Generalmente, un poligono è una figura chiusa formata da linee rette, con i suoi angoli interni creati da queste linee. Per costituire una forma chiusa è necessario un minimo di tre segmenti. È comunemente noto come triangolo o 3-gon. Il termine generale per un poligono di n lati è n-gon.

Definizione del poligono

Poligoni sono figure piatte e bidimensionali composte da lati diritti che formano una forma completamente chiusa. In geometria il poligono è una figura piana costituita da segmenti di linea collegati a formare una catena poligonale chiusa. Sono costituiti da lati diritti, non curvi e possono avere un numero variabile di lati. Alcuni poligoni di diverso tipo sono: aperti, solo di confine, chiusi e autointersecanti.

In geometria, un poligono è definito come una forma chiusa e bidimensionale che giace piatta su un piano ed è racchiusa da lati diritti.

Un poligono non ha lati curvi e i suoi bordi sono i segmenti diritti che ne definiscono il confine. I punti d'incontro di questi bordi sono chiamati vertici o angoli.

Esempi di poligoni

In termini matematici i triangoli, gli esagoni, i pentagoni e i quadrilateri sono esempi di poligoni. Esempi reali di Polygon sono lo schermo di forma rettangolare del tuo laptop, televisione, telefono cellulare; campo da calcio o parco giochi rettangolare, Triangolo delle Bermuda e Piramidi d’Egitto di forma triangolare.

Parti di un poligono

Un Poligono è composto da tre componenti fondamentali:

• Lati del poligono: I lati di un poligono sono il confine dei poligoni che definiscono la regione chiusa.
• Vertici: Il punto in cui due lati si incontrano è detto vertice.
• Angoli: Il poligono contiene sia angoli interni che esterni. Un angolo interno è formato all'interno della regione racchiusa del poligono dall'intersezione dei suoi lati.

Grafico poligonale basato sul numero di lati

Nomenclatura dei Poligoni definita in base al numero di lati che possiedono. È designato come n-gons, dove 'n' indica il numero di lati. I poligoni sono generalmente identificati dalla quantità dei loro bordi. Ad esempio, un poligono con cinque lati è chiamato 5-gon, mentre uno con dieci lati è chiamato 10-gon.

Proprietà dei poligoni

Le proprietà dei Poligoni li identificano facilmente. Le seguenti proprietà contribuiscono a conoscere facilmente i Poligoni:

• Un poligono è una forma chiusa, priva di estremità aperte. L'origine e il punto finale dovrebbero essere gli stessi.
• Assume una forma planare, costituita da segmenti di linea o linee rette che collettivamente modellano la figura.
• In quanto entità bidimensionale, un poligono esiste solo nelle dimensioni di lunghezza e larghezza, mancando di profondità o altezza.
• Possiede tre o più lati per formare un poligono.
• Gli angoli nel poligono possono variare. Mostra una configurazione distinta.
• La lunghezza dei lati di un poligono può variare; può o meno essere uguale in tutto il Poligono.

Forme poligonali

Un poligono è una forma piatta e bidimensionale caratterizzata da lati diritti collegati a formare una figura chiusa. Esempi di forme poligonali includono:

• Triangolo
• Quadrilatero
• Pentagono
• Esagono
• Ettagono
• Ottagono
• Nonagono
• Decagono

Triangolo

• Ha 3 lati e 3 vertici.
• Non ha diagonali.
• La somma degli interni è 180°.

Quadrilatero

• Ha 4 lati e 4 vertici.
• Ha 2 diagonali.
• La somma dell'angolo interno è 360°.

Pentagono

• Ha 5 lati e 5 vertici.
• Ha 5 diagonali.
• La somma dell'angolo interno è 540°.

Esagono

• Ha 6 lati e 6 vertici.
• Ha 9 diagonali.
• La somma dell'angolo interno è 720°.

Ettagono

• Ha 7 lati e 7 vertici.
• Ha 14 diagonali.
• La somma dell'angolo interno è 900°.

Ottagono

• Ha 8 lati e 8 vertici.
• Ha 20 diagonali.
• La somma dell'angolo interno è 1080°.

Nonagono

• Ha 9 lati e 9 vertici.
• Ha 27 diagonali.
• La somma dell'angolo interno è 1260°.

Decagono

• Ha 10 lati e 10 vertici.
• Ha 35 diagonali.
• La somma dell'angolo interno è 1440°.

Tipi di poligoni

A seconda dei lati e degli angoli, i Poligoni possono essere classificati in diverse tipologie su base diversa come:

• Sulla base dei lati
• In base agli angoli
• Sulla base del confine

Poligoni sulla base dei lati

I poligoni possono essere classificati in base alle caratteristiche dei loro lati in due tipi principali:

• Poligono regolare
• Poligono irregolare

Poligono regolare

Un poligono regolare si distingue per avere tutti i lati di uguale lunghezza e tutti gli angoli interni di uguale misura. Può essere sia equilatero che equiangolo. Esempi di poligoni regolari includono il triangolo, il quadrilatero, il pentagono e l'esagono.

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Poligono regolare

Poligono irregolare

Un poligono irregolare ha lati di diversa lunghezza e angoli di diversa misura. Qualsiasi poligono che non soddisfa i criteri di un poligono regolare è classificato come irregolare. Esempi comuni di poligono irregolare sono il triangolo scaleno, i quadrilateri come il rettangolo, il trapezio o l'aquilone, nonché le strutture pentagonali ed esagonali irregolari.

Poligono irregolare

Poligoni sulla base degli angoli

I poligoni possono essere classificati in base alla natura dei loro angoli in due categorie principali:

• Poligono convesso
• Poligono concavo

Poligono convesso

Un poligono convesso non ha un angolo interno che misura più di 180°. I poligoni convessi possono avere tre o più lati. Nei poligoni convessi tutte le diagonali giacciono all'interno della figura chiusa. Esempi comuni di poligoni convessi sono i triangoli, tutti i quadrilateri convessi, nonché i pentagoni e gli esagoni regolari

Poligono concavo

Un poligono concavo ha almeno un angolo interno che è un angolo riflesso e punta verso l'interno. I poligoni concavi hanno almeno quattro lati. Questo tipo di poligono presenta almeno un angolo interno che misura più di 180°. Nei poligoni concavi alcune diagonali si estendono all'esterno della figura racchiusa. Esempi di poligoni concavi includono una freccetta o una punta di freccia nei quadrilateri, nonché alcuni pentagoni ed esagoni irregolari.

Differenza tra poligoni concavi e convessi

Vediamo la differenza tra poligono convesso e concavo nella tabella seguente:

Poligoni sulla base dei confini

I poligoni possono essere classificati in due tipi principali in base alla natura dei loro confini:

• Poligono semplice
• Poligono complesso

Poligono semplice

Un poligono semplice è caratterizzato da un confine singolare e non intersecante. In altre parole, non attraversa se stesso e consiste in un unico confine.

Poligoni semplici

Poligono complesso

D'altra parte, un poligono complesso è definito dall'intersezione stessa. Consiste in più di un confine all'interno della sua struttura. Nei poligoni complessi i confini si intersecano, creando più regioni distinte all'interno del poligono.

Poligono complesso

Leggi di più su Tipi di poligoni.

Formule poligonali

Esistono diverse formule relative ai poligoni in geometria. Alcuni di quelli più comunemente usati includono:

• Formula di zona
• Formula del perimetro
• Numero di diagonali

Tutte le formule relative ai diversi poligoni sono discusse di seguito:

Area dei poligoni

Area di un poligono rappresenta lo spazio totale che occupa in un piano bidimensionale, è determinato da formule specifiche basate sul numero di lati e sulla classificazione del poligono. Le formule dell'area sono le seguenti:

Perimetro dei poligoni

Il perimetro di una forma bidimensionale rappresenta la lunghezza totale del suo confine esterno. Per i poligoni, il perimetro viene calcolato come segue:

Formula diagonale del poligono

Una diagonale di un poligono è un segmento di linea formato collegando due vertici non adiacenti.

Numero di diagonali in un poligono = n(n−3)/2,

Dove 'n' rappresenta il numero di lati posseduti dal poligono.

Leggi di più su Formula diagonale del poligono .

Angoli nei poligoni

In geometria, gli angoli nei poligoni si riferiscono agli angoli formati dai lati di un poligono, sia all'interno che all'esterno del poligono. Pertanto, possono esserci entrambi gli angoli in un poligono, ovvero

• Angoli interni
• Angoli esterni

Discutiamo la formula per questi angoli in dettaglio come segue:

Formula dell'angolo interno dei poligoni

Gli angoli interni di un poligono sono quelli formati tra i suoi lati adiacenti e sono uguali nel caso di un poligono regolare. Il conteggio degli angoli interni corrisponde al numero di lati del poligono.

La somma degli angoli interni 'S' in un poligono con 'n' lati viene calcolata come

S = (n – 2) × 180°

Dove 'n' rappresenta il numero di lati.

Formula dell'angolo esterno dei poligoni

Ogni angolo esterno di un poligono regolare si forma estendendo uno dei suoi lati (in senso orario o antiorario) e misurando l'angolo tra tale estensione e il lato adiacente. In un poligono regolare tutti gli angoli esterni sono uguali

immagine di ribasso

La somma totale degli angoli esterni in qualsiasi poligono è fissata a 360°

Perciò,

Ogni angolo esterno è dato da 360°/n

Dove 'n' è il numero di lati.

La somma degli angoli interni e corrispondenti esterni in qualsiasi vertice di un poligono è sempre 180 gradi, esprimendo una relazione supplementare:

Angolo interno + Angolo esterno = 180°

Angolo esterno = 180° – Angolo interno

Conclusione

• Il poligono è una figura chiusa delimitata da tre o più segmenti di linea
• Somma degli angoli interni: La somma di tutti gli angoli interni di un poligono di n lati è data dalla formula (n–2)×180°.
• Numero di diagonali: Per un poligono con n lati, il numero di diagonali si calcola utilizzando la formula n(n–3)/2.
• Triangoli formati da diagonali: Il numero di triangoli formati unendo le diagonali di un singolo vertice di un poligono è n–2.
• Angolo interno del poligono regolare: La misura di ciascun angolo interno in un poligono regolare di n lati è {(n–2)×180°}/n.
• Angolo esterno del poligono regolare: La misura di ciascun angolo esterno in un poligono regolare di n lati è 360°/n.

Inoltre, Leggi

• Piazza
• Parallelogramma
• Rettangolo

Esempi risolti sul poligono in matematica

Esempio 1: considera un quadrilatero con quattro lati. Trova la somma di tutti gli angoli interni del quadrilatero.

Soluzione:

Formula per la somma degli angoli interni in un poligono regolare con n lati = (n − 2) × 180°

La somma di tutti gli angoli interni del quadrilatero = (4 – 2) × 180°

La somma di tutti gli angoli interni del quadrilatero = 2 × 180°

La somma di tutti gli angoli interni del quadrilatero = 360°

Pertanto la somma di tutti gli angoli interni del quadrilatero è 360°.

Esempio 2: considera un poligono regolare con un dato rapporto di angoli esterni e interni di 7:3. Determina il tipo di poligono.

Soluzione:

Il rapporto tra l'angolo esterno e quello interno è 7:3.

Assumi che gli angoli esterno ed interno di un poligono siano 7x e 3x.

La somma degli angoli esterni ed interni di qualsiasi poligono è 180°.

7x + 3x = 180°

10x = 180°

x = 18°

Angolo esterno = 18°

Numero di lati = 360°/angolo esterno

= 360°/18°

= 20

Pertanto il poligono dato è un icosagono, poiché ha 20 lati.

Esempio 3: Ogni angolo esterno di un poligono misura 90 gradi, determinare il tipo di poligono?

Soluzione:

Secondo la formula, ogni angolo esterno = 360°/n

Qui n=numero di lati.

90°= 360°/n

n = 360°/90°= 4

Quindi il Poligono in questione è un quadrilatero, poiché possiede quattro lati.

Esempio 4: I lati sono 10m, 10m, 8m, 8m, 5m, 5m, 9m, 9m. Quanti metri di corda serviranno per il Perimetro?

Soluzione:

Per trovare la lunghezza della corda necessaria per il perimetro dobbiamo sommare le lunghezze di tutti i lati:

Perimetro = 10 m + 10 m + 8 m + 8 m + 5 m + 5 m + 9 m + 9 m

Perimetro = 64 m.

Per il Perimetro saranno quindi necessari complessivamente 64 metri di corda.

Domande pratiche sui poligoni in geometria

Di seguito sono riportate alcune domande pratiche basate sulla formula dei poligoni:

Q1. Dato che un angolo di un pentagono è 140°, determina la dimensione dell'angolo più grande se gli angoli rimanenti hanno il rapporto 1:2:3:4.

Q2. Se la somma degli angoli interni di un poligono è 160°, calcola il numero dei lati del poligono.

Q3. Il numero dei lati in due poligoni regolari è nel rapporto 2:3, e il rapporto tra i loro angoli interni è 4:5. Trova i rispettivi numeri di lati di questi poligoni.

Q4. Determina la somma totale degli angoli di un ettagono.

Q5. Calcola la somma degli angoli esterni di un pentagono.

Q6. Quanti lati ha un esagono?

1. 4
2. 6
3. 8
4. 10

D7. Quale dei seguenti non è un poligono regolare?

1. Triangolo
2. Piazza
3. Pentagono
4. Parallelogramma

Domande frequenti sui poligoni in matematica

Cos'è un poligono in matematica?

In matematica, un Poligono si riferisce ad una figura bidimensionale chiusa formata dalla connessione di tre o più linee rette. Il termine poligono deriva dalla lingua greca, dove poli- significa molti e gon rappresenta l'angolo.

Qual è il poligono più piccolo?

Il poligono più piccolo formato è un triangolo con tre lati.

Cos'è 20 gon?

Un 20-gon è un poligono a venti lati in geometria.

Qual è la somma totale degli angoli esterni del poligono?

La somma degli angoli esterni di un poligono è 360°.

Un cerchio può essere classificato come un poligono?

Il poligono è una forma chiusa composta da segmenti rettilinei. Il cerchio è una figura chiusa, ma è costituito da una curva. Quindi un cerchio non è un poligono.

Qual è la somma degli angoli interni di un poligono?

La somma dell'angolo interno di un poligono è data da (n–2)×180° dove n è il numero di lati del poligono.