I simboli degli insiemi sono un termine collettivo utilizzato per tutti i simboli utilizzati nella teoria degli insiemi, che è la branca della matematica che si occupa della raccolta di oggetti e delle loro varie proprietà. Un insieme è una raccolta ben definita di oggetti in cui ciascun oggetto nella raccolta è chiamato elemento e ciascun elemento dell'insieme segue una regola molto specifica. Generalmente, la lettera maiuscola degli alfabeti inglesi viene utilizzata per denotare insiemi e alcune lettere denotano alcuni insiemi specifici nella teoria degli insiemi.
Ci sono molti simboli usati durante lo studio di questa branca della matematica, alcuni dei simboli comuni sono {}, |, :, ∈, ∉, ⊆, U, Ø, ecc. Discuteremo tutti questi simboli in dettaglio nell'articolo inclusa anche la storia di questi simboli. Quindi, iniziamo il nostro viaggio alla scoperta dei vari simboli di insiemi utilizzati nella teoria degli insiemi.
Tabella dei contenuti
- Cosa sono i simboli impostati?
- Storia dei simboli insiemi
- Concetti di base sugli insiemi di simboli
- Impostare i simboli in matematica
- Simboli della teoria degli insiemi
- Esempi risolti sui simboli impostati
- Domande pratiche per i simboli impostati
- Domande frequenti
Cosa sono i simboli impostati?
I simboli degli insiemi sono elementi costitutivi di base della matematica utilizzati per rappresentare e descrivere gruppi di oggetti, numeri o elementi che hanno proprietà simili. Questi simboli offrono un approccio chiaro e coerente per comunicare idee difficili sugli insiemi e sulle loro interazioni. Il simbolo più tipico del set è ∈, che sta per appartenenza e si pronuncia come appartiene a. ∈ indica che un elemento fa parte di un insieme specifico.
Al contrario, ∉ significa che un elemento non fa parte di un insieme. ⊆, ⊂, ∪, ∩, ∅, ecc. sono alcuni degli esempi comuni di simboli nella teoria degli insiemi. Questi e altri simboli consentono ai matematici di definire operazioni, specificare operazioni e formulare asserzioni matematiche esatte, ponendo le basi per una varietà di specialità matematiche e usi pratici.
Leggi di più su Insiemistica .
Esempio di set di simboli
Usiamo il simbolo, che rappresenta l'intersezione degli insiemi, come illustrazione. Siano E ed F due insiemi tali che insieme E = {1, 3, 5, 7} e insieme F = {3, 6, 9}. Quindi il simbolo ∩ rappresenta l'intersezione tra entrambi gli insiemi, ovvero E ∩ F.
Qui E ∩ F contiene tutti gli elementi che sono in comune in entrambi gli insiemi E e F cioè {3}.
In conclusione, il simbolo ∩ viene utilizzato per identificare gli elementi condivisi da due o più insiemi. L'intersezione produce solo insiemi che hanno elementi condivisi da tutti gli insiemi che vengono intersecati.
Impara di più riguardo Intersezione di insiemi .
Storia dei simboli insiemi
Tra il 1874 e il 1897 chiamò un matematico tedesco Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor sviluppò una teoria astratta chiamata Teoria degli Insiemi. Lo ha proposto mentre ricercava alcune preoccupazioni fattuali che coinvolgono forme specifiche di insiemi infiniti di numeri reali. Un insieme, secondo la nozione, è un raggruppamento di certi oggetti di osservazione definiti e distinti. Tutte queste cose sono indicate come membri o componenti dell'insieme. La proprietà delle combinazioni reali di numeri algebrici è il fondamento della teoria di Cantor.
Concetti di base sugli insiemi di simboli
Varie idee sono trattate a vari livelli di scolarizzazione nella teoria degli insiemi. La rappresentazione degli insiemi, i tipi di insiemi, le operazioni sugli insiemi (come unione e intersezione), la cardinalità e le relazioni degli insiemi e così via sono tra i concetti essenziali. Alcuni dei concetti essenziali della teoria degli insiemi sono i seguenti:
Insieme universale
La lettera maiuscola “U” è comunemente usata per rappresentare un Set Universale. Occasionalmente è anche simboleggiato da ε (epsilon). È un insieme che contiene tutti gli elementi di altri insiemi oltre al proprio.
Complemento d'insieme
Il complemento di un insieme comprende tutti i costituenti dell’insieme universale tranne gli elementi dell’insieme in esame. Se A è un insieme, allora i suoi complementi conterranno tutti i membri dell’insieme universale specificato (U) che non sono inclusi in A. Il complemento di un insieme è indicato o espresso come A’ o ACed è definito come:
A’= {x ∈ U: x ≠ A}
Leggi di più su Complemento d'insieme .
Imposta la notazione del costruttore
La notazione Set Builder è il metodo per rappresentare gli insiemi in modo tale che, dove non è necessario elencare tutti gli elementi dell'insieme, dobbiamo solo specificare la regola seguita da tutti gli elementi dell'insieme. Alcuni esempi di queste notazioni sono:
Se A è una raccolta di numeri reali.
A = {x : x ∈ R}
Se A è una raccolta di numeri naturali.
A = {x : x> 0 e x ∈ Z]
Dove CON è un insieme di numeri interi.
Per saperne di più, Rappresentazione degli insiemi .
Impostare i simboli in matematica
Per fare riferimento a varie cose e importi, il simbolo dell'insieme utilizza spesso un elenco predefinito di simboli variabili. Per leggere e creare la notazione fissa, devi prima capire come utilizzare i simboli in diverse situazioni. Esaminiamo tutte le notazioni e i simboli della teoria degli insiemi relativi a operazioni, relazioni e così via, insieme ai loro significati ed esempi, in questa categoria.
Simboli utilizzati nel sistema numerico
I simboli utilizzati nei sistemi numerici sono inclusi nella tabella seguente:
| Simbolo | Nome | Significato/definizione | Esempio |
|---|---|---|---|
| W o 𝕎 | Numeri interi | Questi sono i numeri naturali. | Sappiamo N = {1, 2, 3, . . . } 1 ∈N |
| N o ℕ | Numeri naturali | I numeri naturali vengono talvolta definiti numeri da contare che iniziano con 1. | Sappiamo che W = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } 0 ∈ W |
| Z o ℤ | Numeri interi | I numeri interi sono paragonabili ai numeri interi, tranne per il fatto che includono anche valori negativi. | Sappiamo che Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 . . .} -6 ∈Z |
| Q o ℚ | Numeri razionali | I numeri razionali sono quelli indicati come a/b. In questo caso, a e b sono numeri interi con b ≠ 0. | Q= x=a/b, a, b ∈ Z e b ≠ 0 2/6 ∈ Q |
| P o ℙ | Numeri irrazionali | I numeri che non possono essere rappresentati nella forma a/b si chiamano numeri irrazionali, cioè tutti i numeri reali che non sono razionali. unix crea la directory | P = x π e ∈ P |
| R o ℝ | Numeri reali | I numeri interi, i numeri razionali e i numeri irrazionali costituiscono i numeri reali. | R=x 6.343434 ∈ R |
| C o ℂ | Numeri complessi | Un numero complesso è la combinazione di un numero reale e di un numero immaginario. | C= z = a + bi, a, b ∈ R 6+2 io ∈C |
Simboli della teoria degli insiemi
I delimitatori sono caratteri speciali o sequenze di caratteri che indicano l'inizio o la fine di una determinata istruzione o corpo di una funzione di un insieme specificato. Di seguito sono riportati i simboli e i significati della teoria degli insiemi dei delimitatori:
| Simbolo | Nome | Significato/definizione | Esempio |
|---|---|---|---|
| {} | Impostato | All'interno di queste parentesi c'è un gruppo di elementi/numeri/alfabeti in un insieme. | {15, 22, c, d} |
| | | Così | Questi vengono utilizzati per costruire un insieme specificando cosa è contenuto al suo interno. | q> 6 L'istruzione specifica la raccolta di tutti i q tali che q sia maggiore di 6. |
| : | Così | Talvolta viene utilizzato il simbolo : al posto di | simbolo. | In alternativa la frase precedente può essere scritta come q . |
Insiemi e simboli relazionali nella teoria degli insiemi
I simboli della teoria degli insiemi vengono utilizzati per identificare un insieme specifico nonché per determinare/mostrare una relazione tra insiemi distinti o relazioni all'interno di un insieme, come la relazione tra un insieme e il suo costituente. La tabella seguente illustra tali simboli di relazione, insieme ai loro significati ed esempi:
| Simbolo | Nome | Significato/definizione | Esempio |
|---|---|---|---|
| un ∈ A | È un componente di | Ciò specifica che un elemento è un membro di un insieme specifico. | Se un insieme A={12, 17, 18, 27} possiamo dire che 27 ∈ a. |
| b ∉ B | Non è un componente di | Ciò indica che un elemento non appartiene a un insieme particolare. | Se un insieme B={c, d, g, h, 32, 54, 59} allora qualsiasi elemento diverso da quello dell'insieme non appartiene a questo insieme. Ad esempio, 18 ∉ B. |
| A = B | Relazione di uguaglianza | I set forniti sono equivalenti nel senso che hanno gli stessi componenti. | Se metti P={16, 22, a} e Q={16, 22, a} allora P=Q. |
| A ⊆ B | Sottoinsieme | Quando tutti gli elementi di A sono presenti in B, A è un sottoinsieme di B. | A= {31, b} e B={a, b, 31, 54} {31, b} ⊆ {a, b, 31, 54} |
| A ⊂ B | Sottoinsieme proprio | P si dice sottoinsieme proprio di B quando è sottoinsieme di B e non uguale a B. | A= {24, c} e B={a, c, 24, 50} A ⊂ B |
| A ⊄ B | Non un sottoinsieme | Di conseguenza, l’insieme A non è un sottoinsieme dell’insieme B. | A = {67,52} e B = {42,34,12} A ⊄ B |
| A ⊇ B | Superinsieme | A è un superinsieme di B se l'insieme B è un sottoinsieme di A. L'insieme A può essere uguale o maggiore dell'insieme B. | A = {14, 18, 26} e B={14, 18, 26} concatenazione di stringhe Java {14, 18, 26} ⊇{14, 18, 26} |
| A ⊃ B | Superinsieme corretto | L'insieme A ha più elementi dell'insieme B poiché è un superinsieme di B. | {14, 18, 26, 42} ⊃ {18,26} |
| A ⊅ B | Non un superset | Quando tutti gli elementi di B non sono presenti in A, A non è un vero superinsieme di B. | A = {11, 12, 16} e B = {11, 19} {11, 12, 16} ⊅ {11, 19} |
| Ø | Set vuoto | Un insieme vuoto o nullo è uno che non include alcun elemento. | {22, y} ∩ {33, a} = Ø |
| IN | Insieme universale | Un insieme che contiene elementi di tutti gli insiemi rilevanti, compreso il proprio. | Se A = {a,b,c} e B = {1,2,3,b,c}, allora U = {1,2,3,a,b,c} |
| |A| oppure n{A} | Cardinalità di un insieme | La cardinalità si riferisce al numero di elementi in una particolare raccolta. | Se A= {17, 31, 45, 59, 62}, allora |A|=5. |
| P(X) | Set di potenza | Un insieme potenza è l'insieme di tutti i sottoinsiemi dell'insieme X, compreso l'insieme stesso e l'insieme nullo. | Se, X = {12, 16, 19} P(X) = {12, 16, 19}={{}, {12}, {16}, {19}, {12, 16}, {16, 19}, {12, 19}, {12, 16, 19}} |
Simboli basati su operatori nella teoria degli insiemi
Con esempi, studieremo i simboli e i significati della teoria degli insiemi per numerose operazioni come unione, complemento, intersezione, differenza e altre.
| Simbolo | Nome | Significato/definizione | Esempio |
|---|---|---|---|
| A∪B | Unione di insiemi | L'unione dei set crea un set completamente nuovo combinando tutti i componenti dei set forniti. | A = {p, q, u, v, w} B = {r, s, x, y} A ∪ B (A unione B) = {p, q, u, v, w, r, s, x, y} |
| A∩B | Intersezione di insiemi | La componente comune di entrambi gli insiemi è inclusa nell'intersezione. | A = { 4, 8, a, b} e B = {3, 8, c, b}, quindi A ∩ B = {8, b} |
| XCOX' | Complemento di un insieme | Il complemento di un insieme comprende tutte le cose che non appartengono all’insieme fornito. | Se A è un insieme universale e A = {3, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 24} e B = {13, 15, 17, 18, 19} allora X′ = A – B ⇒ X′ = {3, 6, 8, 22, 24} |
| A-B | Imposta la differenza | L'insieme di differenze è un insieme che contiene elementi di un insieme che non si trovano in un altro. | A = {12, 13, 15, 19} e B = {13, 14, 15, 16, 17} A – B = {12, 19} |
| A×B | Prodotto cartesiano di insiemi | Un prodotto cartesiano è il prodotto delle componenti ordinate degli insiemi. | A = {4, 5, 6} e B = {r} Ora, A × B ={(4, r), (2, r), (6, r)} |
| A∆B | Differenza simmetrica di insiemi | A Δ B = (A – B) U (B – A) denota la differenza simmetrica. | A = {13, 19, 25, 28, 37},B = {13, 25, 55, 31} A ∆ B = { 19, 28, 37, 55, 31} |
Per saperne di più
- Tipi di set
- Operazione sugli insiemi
Esempi risolti sui simboli impostati
Esempio 1: Dati due insiemi con P={21, 32, 43, 54, 65, 75} e Q={21, 43, 65, 75, 87, 98} qual è il valore di P∪Q?
Risposta:
P={21, 32, 43, 54, 65, 75} e Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}
P∪Q={21, 32, 43, 54, 65, 75, 87, 98}
Esempio 2: Qual è il valore di |Y| se Y={13, 19, 25, 31, 42, 65}?
Risposta:
|Y| = Cardinalità dell'insieme=numero di elementi nell'insieme è la soluzione.
|Y| = n(Y)=6, poiché l'insieme Y ha 6 elementi.
Esempio 3: Dati due insiemi con valori P={a,c,e} e Q={4,3}, determinarne il prodotto cartesiano.
Risposta:
Prodotto cartesiano = P × Q
Se P={b, d, f} e Q={5, 6}
Allora P × Q={(b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d ,6), (b,5), (d,6)}
Esempio 4: supponiamo che P = {x: x sia un numero intero naturale e un multiplo di 24 e Q = {x: x sia un numero naturale inferiore a 8}. Determina P ∪ Q.
Risposta:
Dato che
P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
memoria virtualeQ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Di conseguenza, P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}
Esempio 5: supponiamo P = {3, 5, 7}, Q = {2, 3, 4, 6}. Trova (P ∩ Q)’.
Risposta:
Dato, P = {4, 6, 8}, Q = {3, 4, 5, 7}
P ∩ Q = {4}
Perciò,
(P ∩ Q)’ = {3, 5, 6, 7, 8}
Esempio 6: Se P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} e Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}, determinare
(i) PQ e (ii) PQ.
Risposta:
Dato,
P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} e Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}
(i) P – Q = {4, 8, 10}
(ii) Q – P = {3, 12, 14}
Domande pratiche per i simboli impostati
Domanda 1: Dati gli insiemi:
- A = {2, 4, 6, 8}
- B = {4, 8, 12, 16}
Determina gli elementi nell'unione degli insiemi A e B.
Domanda 2: Consideriamo gli insiemi:
- X = {1, 2, 3, 4, 5}
- Y = {3, 4, 5, 6, 7}
Trova l'intersezione degli insiemi X e Y.
Domanda 3: Supponiamo di avere i set:
- P = {a, b, c, d}
- Q = {c, d, e, f}
Calcolare gli elementi dell'insieme P – Q e Q – P.
Domanda 4: Diciamo che hai i set:
- U = {1, 2, 3, 4, 5}
- V = {4, 5, 6, 7}
Scopri se l'insieme V è un sottoinsieme dell'insieme U.
Domanda 5: Considera i set:
- S = {mela, banana, arancia, pera}
- T = {pera, mango, ciliegia}
Trova il prodotto cartesiano degli insiemi S e T.
Domanda 6: Supponiamo di avere l'insieme universale:
- U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}
E i set:
- E = {b, d, f, h, j}
- F = {a, c, e, g, i}
Calcolare il complemento degli insiemi E ed F rispetto all'insieme universale U.
Domande frequenti sui simboli impostati
1. Definire il simbolo impostato.
Il simbolo dell'insieme è una branca che studia i raggruppamenti di entità/numeri/oggetti, le loro relazioni con altri insiemi, le diverse operazioni (unione, intersezione, complemento e differenza) e le caratteristiche associate.
2. Cosa rappresenta questo simbolo ⊆?
Il simbolo ⊆ significa che è un sottoinsieme di. Un sottoinsieme è un insieme i cui elementi sono stati aggiunti come se fossero tutti elementi di un altro insieme.
3. Cosa significa ∪ negli insiemi?
‘∪’ è il segno dell’unione degli insiemi. A ∪ B è un insieme che contiene tutti gli elementi degli insiemi A e B.
4. Cosa rappresenta P = Q?
Se l'insieme P è uguale all'insieme Q, allora i membri di P e Q sono gli stessi. Per esempio:
P = {4,5,6} e Q = {6,5,4}
Di conseguenza, P = Q.
5. In matematica, cosa significa ∩?
‘∩’ indica l’unione di due insiemi. A ∩ B è un insieme che contiene elementi condivisi sia da A che da B.
6. Cosa vale ∈ negli insiemi?
∈ è un segno che significa “appartiene a”. Se b ∈ B, significa che b è un elemento di B.
7. Qual è l'insieme N ={1, 2, 3, 4, 5, . . .} conosciuto come?
L'insieme dei numeri naturali è definito come N = {1, 2, 3, 4, 5, …} Contiene tutti i numeri positivi, compresi tra 1 e un numero infinito. Questa raccolta è fondamentale per la matematica e fornisce un quadro sia per ordinare che per contare.
8. Quanto vale A × B negli insiemi?
Il prodotto cartesiano degli insiemi A e B è mostrato come A x B nel simbolo dell'insieme. È l'insieme che comprende tutti i possibili accoppiamenti ordinati in cui il primo elemento è tratto dall'insieme A e il secondo dall'insieme B.
9. Come leggerai A ∩ B?
A∩B si pronuncia A intersezione B. Sta per l'insieme che contiene elementi comuni in entrambi gli insiemi.
10. Cosa significa Ø nella teoria degli insiemi?
Nella teoria degli insiemi, l'idea di un insieme vuoto, privo di elementi, è denotata dal simbolo Ø (pronunciato insieme vuoto).
11. Cos'è l'AUB?
AUB in matematica sta per l'unione degli insiemi A e B. Si riferisce all'insieme che include tutti gli elementi di entrambi gli insiemi A e B.
12. ∅ è uguale a {}?
Sì, ∅ e {} rappresentano entrambi l'insieme vuoto in matematica. Pertanto, entrambi sono la diversa notazione della stessa cosa.