La sostituzione trigonometrica è uno dei metodi di sostituzione di integrazione in cui una funzione o espressione nell'integrale dato viene sostituita con funzioni trigonometriche come sin, cos, tan, ecc. L'integrazione per sostituzione è un metodo di sostituzione più semplice.

Si usa quando si effettua una sostituzione di una funzione la cui derivata è già inclusa nella funzione integrale data. In questo modo la funzione viene semplificata e si ottiene una funzione integrale semplice che possiamo integrare facilmente. È anche nota come sostituzione u o regola della catena inversa. O in altre parole, utilizzando questo metodo, possiamo facilmente valutare integrali e antiderivative.

Sostituzione trigonometrica

Cos'è la sostituzione trigonometrica?

La sostituzione trigonometrica è un processo in cui avviene la sostituzione di una funzione trigonometrica in un'altra espressione. Viene utilizzato per valutare gli integrali o è un metodo per trovare le antiderivative di funzioni che contengono radici quadrate di espressioni quadratiche o potenze razionali della formafrac{p}{2} (dove p è un numero intero) di espressioni quadratiche. Esempi di tali espressioni sono

({x^2+4})^frac{3}{2} Osqrt{25-x^2} o ecc.

Il metodo della sostituzione trigonometrica può essere utilizzato quando altri metodi di integrazione più comuni e più facili da usare hanno fallito. La sostituzione trigonometrica presuppone che tu abbia familiarità con le identità trigonometriche standard, l'uso della notazione differenziale, l'integrazione mediante la sostituzione u e l'integrazione delle funzioni trigonometriche.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Qui discuteremo alcune formule importanti a seconda della funzione che dobbiamo integrare, sostituiamo una delle seguenti espressioni trigonometriche per semplificare l'integrazione:

∫cosx dx = sinx + C

strsep

∫sinx dx = −cosx + C

∫sec²x dx = tanx + C

∫cosec²xdx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|secx| +C

∫cotx dx = ln|sinx| +C

∫secx dx = ln|secx + tanx| +C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| +C

Leggi in dettaglio: Calcolo in matematica

Quando utilizzare la sostituzione trigonometrica?

Usiamo la sostituzione trigonometrica nei seguenti casi,

Come applicare il metodo di sostituzione trigonometrica?

Possiamo applicare il metodo di sostituzione trigonometrica come discusso di seguito,

Integrale con a²- X²

Consideriamo un esempio dell’Integrale che coinvolge a²- X².

Esempio: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Mettiamo x = a sinθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Quindi io =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ Io =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ Io =int 1. d heta

⇒ Io = θ + c

Come, x = un peccatoθ

⇒θ =sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ Io =sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integrale con x ² +a ²

Consideriamo un esempio dell'Integrale che coinvolge x²+a².

Esempio: Trova l'integrale old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

Soluzione:

Poniamo x = a tanθ

⇒ dx = a sec2θ dθ, otteniamo

Quindi, io =int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ Io =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ Io =frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ Io =frac{1}{a} heta +c

Come, x = a tanθ

⇒θ =tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ Io =frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) +c

Integrale con a ² +X ² .

Consideriamo un esempio dell’Integrale che coinvolge a²+X².

Esempio: Trova l'integrale di old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

Soluzione:

Mettiamo x = a tanθ

⇒ dx = un secondo²θdθ

Quindi io =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ Io =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ Io =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

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⇒ Io =int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ Io =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ Io =log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ Io =log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ Io =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ Io =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ Io =log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ Io =log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Integrale con x ² - UN ² .

Consideriamo un esempio dell'Integrale che coinvolge x²- UN².

Esempio: Trova l'integrale di old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

Poniamo x = un secθ

⇒ dx = a secθ tanθ dθ

Quindi io =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ Io =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ Io =int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Io =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ Io =log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ Io =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ Io =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ Io =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ Io = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ Io =log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Per saperne di più,

• Formule di integrazione
• Integrazione per sostituzione
• Integrazione per parti

Esempi di problemi sulla sostituzione trigonometrica

Problema 1: Trova l'integrale di old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Soluzione:

Prendendo 5 comuni al denominatore,

⇒ Io =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Io =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Secondo il teorema 1, a =frac{3}{5}

⇒ Io =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) +c

⇒ Io =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) +c

Problema 2: Trova l'integrale di old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Soluzione:

Prendendo √2 comune al denominatore,

⇒ Io = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Io =frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Secondo il teorema 1, a = 2

⇒ Io =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ Io =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

Problema 3: Trova l'integrale di old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

10 di 100

Soluzione:

Riorganizzando, otteniamo

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

Prendendo qui a = 3 e x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cosθdθ

Sostituendo questi valori,

io =int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Io =int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Io =int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

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⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Prendiamo,

u = cosθ

⇒ du = -sinθdθ

Sostituendo questi valori, otteniamo

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243[frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

As, u = cos θ e x = 3 sinθ

⇒ cosθ =sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ in =sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ in =(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Quindi, I = -243[frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ I = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] +c

Problema 4: Trova l'integrale di old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

Soluzione:

Prendendo 9 comuni al denominatore,

io =frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Io =frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

Secondo il teorema 2, a =frac{2}{3}

⇒ Io =frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ Io =frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

Problema 5: Trova l'integrale di old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

Soluzione:

Prendendo 4 comuni al denominatore,

io =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ Io =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

Secondo il teorema 3, a =frac{5}{4}

⇒ Io =frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ Io =frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ Io =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ Io =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

Problema 6: Trova l'integrale di old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

Soluzione:

Prendendo 2 comuni al denominatore,

io =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

io =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

Secondo il teorema 4, a =frac{3}{2}

io =frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

io =frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

io =frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

io =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

io =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

Problema 7: Trova l'integrale di old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

Soluzione:

Dopo aver riorganizzato, otteniamo

come trovare cose nascoste su Android

io =int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

io =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

io =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

io =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

Secondo il teorema 2, abbiamo

x = x-frac{1}{2} e un =frac{sqrt{3}}{2}

io =frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

io =frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Sostituzione trigonometrica – Domande frequenti

Cos'è la sostituzione trigonometrica?

La sostituzione trigonometrica è una tecnica di integrazione utilizzata per risolvere gli integrali che coinvolgono espressioni con radicali e radici quadrate come √(x²+a²), √(a²+X²) e √(x²- UN²).

Quando dovrei usare la sostituzione trigonometrica?

La sostituzione trigonometrica è utile quando si ha un integrale che coinvolge un'espressione radicale, soprattutto quando l'espressione radicale contiene un termine quadratico.

Quali sono le tre sostituzioni trigonometriche comunemente usate negli integrali?

Le tre sostituzioni trigonometriche comunemente usate sono:

• Sostituisci x = a sin θ quando l'espressione radicale contiene un termine della forma a²- X².
• Sostituisci x = a tan θ quando l'espressione radicale contiene un termine della forma x²- UN².
• Sostituisci x = a sec θ quando l'espressione radicale contiene un termine della forma x²+a².

Come si fa a scegliere quale sostituzione trigonometrica utilizzare?

Dovresti scegliere la sostituzione trigonometrica in base alla forma dell'espressione radicale. Se l'espressione radicale contiene un termine della forma a^2 – x^2, utilizzare x = a sin θ. Se l'espressione radicale contiene un termine della forma x^2 – a^2, utilizzare x = a tan θ. Se l'espressione radicale contiene un termine della forma x^2 + a^2, utilizzare x = a sec θ.