IL Funzione coseno o il cos la funzione in breve è una delle sei Funzioni trigonometriche fondamentale della trigonometria. In trigonometria il coseno è dato dal rapporto tra la base e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo. La funzione coseno è rappresentata come Cos x dove x è l'angolo per il quale viene calcolato il rapporto coseno. In termini di funzione, possiamo dire che x è l'input o il dominio della funzione coseno.
È ampiamente utilizzato in una vasta gamma di argomenti come fisica, geometria e ingegneria, tra gli altri, in genere sfruttando la sua natura periodica. Ad esempio, viene utilizzato per definire la natura ondulatoria delle onde sonore, i calcoli del flusso elettrico attraverso una superficie piana, ecc. In questo articolo, impariamo in dettaglio cos'è la funzione coseno, la dominio e intervallo della funzione coseno, il periodo e il grafico della funzione coseno.
Tabella dei contenuti
- Qual è la funzione coseno?
- Cos nel cerchio unitario
- Grafico della funzione coseno
- Inversa della funzione coseno
- Funzione coseno nel calcolo
- Identità delle funzioni Cos
Qual è la funzione coseno?
La funzione coseno è una funzione trigonometrica che è fondamentalmente di natura periodica. La funzione coseno è espressa come cos x dove x è uno degli angoli acuti di un triangolo rettangolo. La funzione coseno trova il rapporto tra base e ipotenusa per un dato valore di x. La funzione coseno è abbreviata come cos(x) o cos(θ) dove x è l'angolo in radianti e theta θ è l'angolo in gradi generalmente. La funzione coseno può essere definita utilizzando un cerchio unitario, ovvero un cerchio di raggio unitario, come vedremo più avanti in questo articolo. È di natura periodica e ripete i suoi valori dopo ogni rotazione completa degli angoli. Su un piano cartesiano può essere definita la componente vettoriale dell'ipotenusa parallela all'asse x.
Definizione della funzione coseno
La funzione coseno è definita in un triangolo rettangolo come il rapporto tra la lunghezza del lato adiacente all'angolo interessato e la lunghezza dell'ipotenusa. Matematicamente la funzione coseno è data come
Cos x = Cos θ = Lunghezza della base/Lunghezza dell'ipotenusa = b/h = OB/OA
Dove X è l'angolo in radianti e θ è l'angolo equivalente in gradi.
Dominio e intervallo della funzione Cos
Sappiamo che per una funzione, dominio rappresenta i valori di input consentiti e intervallo è il valore di output per quel particolare input o valore di dominio. Quindi, possiamo supporre che la funzione agisca come un processore che riceve input, lo elabora e fornisce un output particolare. Il dominio e l'intervallo della funzione cos sono discussi di seguito:
- Dominio della funzione coseno: R cioè l'insieme di tutti i numeri reali.
- Intervallo della funzione coseno: [-1, 1], ovvero l'output varia tra tutti i numeri reali compresi tra -1 e 1.
Periodo di una funzione coseno
IL funzione è di natura periodica, cioè si ripete dopo 2π o 360°. In altre parole, si ripete dopo ogni rotazione completa. Quindi, il periodo della funzione coseno è una rotazione completa o un angolo di 360° (o 2π).
Reciproco di una funzione coseno
Il reciproco di una funzione coseno è noto come secante funzione o sez in breve. Matematicamente, il reciproco della funzione coseno è dato come
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sec(θ) = 1/cos(θ)
Come da regole di Reciproci , se moltiplichiamo il Cos x per Sec x il prodotto sarà sempre 1.
Grafico della funzione coseno
Il grafico della funzione coseno assomiglia al grafico della funzione seno con una differenza fondamentale che per x = 0 il grafico della funzione coseno passa dall'origine mentre a x = 0, il grafico della funzione coseno passa da (0, 1) a y-aixs. Di seguito è riportato il grafico del valore della funzione coseno, ovvero y = cos x
Le proprietà discusse sopra possono essere viste nel grafico come la natura periodica della funzione.
Variazione della funzione coseno nel grafico
Poiché l'intervallo della funzione coseno è [-1, 1], varia da -1 a 1 nel grafico. Mostra la sua natura periodica poiché il grafico si ripete dopo ogni lunghezza 2π sull'asse x. Ciò riflette che la funzione coseno ha un periodo di 2π (o 360°).
Cos nel cerchio unitario
La funzione coseno può essere definita utilizzando il cerchio unitario. Comprendiamo come possiamo definire la funzione coseno in termini di circonferenza unitaria.
Consideriamo un segmento OA rotante attorno al punto O dove O è l'origine del piano cartesiano. Pertanto, la rotazione di OA descrive una circonferenza unitaria (cerchio di raggio unitario) centrata nell'origine O e il punto A giace sempre su questa circonferenza. Se trasciniamo una perpendicolare da A sull'asse x e chiamiamo il punto di intersezione B, e θ è l'angolo che OA forma con la direzione positiva dell'asse x, allora cos(θ) = proiezione dell'ipotenusa su x -asse = OB/|OA| = OB (poiché |OA| = 1 unità).
Si noti che la direzione OB è importante come mostrato nelle figure seguenti. Il segmento verde indica la lunghezza/magnitudine e la freccia indica la direzione (+ve o -ve) di cos(θ)
Si noti che il valore di cos(θ) è positivo per θ appartenente al primo e quarto quadrante mentre negativo per θ appartenente al secondo e terzo quadrante.
Inversa della funzione coseno
L'inverso di una funzione coseno nota come arco-coseno funzione e abbreviato come arccos(x) O cos -1 (X) è definito come segue
cos(x) = y
⇒ cos -1 (y) = x
Dominio e intervallo della funzione coseno inverso
Il dominio e l'intervallo della funzione coseno inverso sono menzionati di seguito:
- Dominio della funzione coseno inverso: Tutti i numeri reali nell'intervallo [-1, 1]
- Intervallo della funzione coseno inverso: Tutti i numeri reali nell'intervallo [0, π]
Funzione coseno iperbolico
Le funzioni iperboliche sono l'equivalente analogico della funzione trigonometrica la cui espressione algebrica è in termini di funzione esponenziale. La funzione coseno iperbolico abbreviata come cosh(x) Dove X è un angolo iperbolico è un concetto della geometria iperbolica. Come (cos(x), sin(x)) rappresenta un punto su un cerchio unitario, (cosh(x), sinh(x)) rappresenta un punto su un'iperbole unitaria cioè xy = 1 dove sinh(x) rappresenta l'iperbolica funzione seno. Lo sviluppo algebrico della funzione cos iperbolica è dato come
cosh(x) = (es X + e -X )/2
Maggiori dettagli sulle funzioni iperboliche vanno oltre lo scopo di questo articolo, ma è possibile fare riferimento a Questo articolo .
Funzione coseno nel calcolo
La branca del calcolo infinitesimale in matematica si occupa di differenziazione e integrazione di una data funzione. La differenziazione della funzione è il tasso di variazione della funzione rispetto alla variabile indipendente mentre l'integrazione è il processo inverso di differenziazione che si occupa di trovare l'integrale di una funzione la cui derivata esiste.
Derivata della funzione coseno
IL derivato della funzione coseno è uguale al negativo della funzione seno. Matematicamente
d(cos(x))/dx = -sen(x)
Integrazione della funzione coseno
IL integrale indefinito della funzione coseno è uguale alla funzione seno. Matematicamente -
∫cos(x)dx = sin(x) + C, dove C è la costante di integrazione.
Funzioni seno e coseno
Il grafico seguente rappresenta la differenza chiave tra la funzione seno e coseno:
Differenza tra le funzioni seno e coseno
La tabella seguente elenca le differenze tra la funzione seno e coseno:
Funzione seno | Funzione coseno |
|---|---|
In una circonferenza unitaria il seno di un angolo è la proiezione dell'ipotenusa sull'asse y. | In una circonferenza unitaria il coseno di un angolo è la proiezione dell'ipotenusa sull'asse x. |
sin(θ) = Altezza del triangolo rettangolo / Lunghezza dell'ipotenusa | cos(θ) = Base del triangolo rettangolo / Lunghezza dell'ipotenusa |
Il suo valore è 0 a 0°, 180° e 360°. | Il suo valore è 0 a 90° e 270°. |
Il suo valore è massimo, cioè 1 a 90°. | Il suo valore è massimo, cioè 1 a 0° e 360°. |
Il suo valore è minimo, ovvero -1 a 270°. | Il suo valore è minimo, ovvero -1 a 180°. |
Tabella del valore del cos
La tabella seguente fornisce i valori della funzione coseno per alcuni angoli comuni nel primo quadrante del piano cartesiano –
Angolo in gradi (θ) | Angolo in radianti (x) | Cos (x) |
|---|---|---|
0 | 0 | 1 |
30 | p/6 | √3/2 |
Quattro cinque | p/4 | 1/√2 |
60 | p/3 | 1/2 |
90 | p/6 | 0 |
Possiamo facilmente calcolare i valori di altri angoli comuni come 15°, 75°, 195°, -15°, ecc. utilizzando questi valori utilizzando le formule cos (x + y) e cos (x – y) descritte più avanti in questo articolo.
Controllo, Tavola trigonometrica
Identità delle funzioni Cos
Le identità trigonometriche di base relative alla funzione coseno sono menzionate di seguito:
- senza2(x) + cos2(x) = 1
- cos(x + y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sen(y)
- cos(x – y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sen(y)
- cos(-x) = cos(x)
- cos(x) = 1/sec(x)
- cos2x = cos2x – peccato2x = 1 – 2peccato2x = 2cos2x – 1 = (1 – tan2x/1 + abbronzatura2X)
- cos3x = 4cos3x – 3cosx
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Esempi risolti sulla funzione coseno
Ecco alcuni esempi risolti per aiutarti a comprendere meglio il concetto di funzione coseno.
Esempio 1: Qual è il valore massimo e minimo della funzione coseno?
Soluzione:
Il valore massimo della funzione coseno è 1 a 0° e 180° mentre il valore minimo della funzione è -1 a 180°.
Esempio 2: a quali angoli nell'intervallo [0, 360] il valore della funzione coseno è 0?
Soluzione:
Il valore della funzione coseno è 0 agli angoli 90° e 270°.
Esempio 3: per quali quadranti il valore della funzione coseno è negativo?
Soluzione:
La funzione coseno è negativa nella IInde IIIrdquadranti.
Esempio 4: Calcolare il valore di cos (45°).
Soluzione:
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Secondo l'identità 4 sopra riportata, cos(-x) = cos(x).
Pertanto, cos(-45°) = cos(45°) = 1/√2
Esempio 5: Calcolare il valore di cos(15°).
Soluzione:
Utilizzando l'identità 3 sopra indicata –
cos(15degree) = cos(45degree – 30degree) ewline = cos(45degree)cos(30degree) + sin(45degree)sin(45degree) ewline = frac{1}{sqrt2} imesfrac{sqrt3}{2} + frac{1}{sqrt2} imes frac{1}{2} ewline = frac{sqrt3 + 1}{2sqrt2}
Esempio 6: Cos'è cos -1 (1/2) nell'intervallo [0,π]?
Soluzione:
Lasciamo cos-1(1/2) = y.
Pertanto, cos(y) = 1/2 ⇒ y = π/3 nell'intervallo sopra indicato.
Quindi la risposta è π/3.
Esempio 7: Qual è il valore di cos(-15°)?
Soluzione:
Utilizzando l'identità 3 di cui sopra –
cos(-15degree) ewline = cos(30degree – 45degree) ewline = cos(30degree)cos(45degree) + sin(30degree)sin(45degree) ewline = frac{sqrt3}{2} imesfrac{1}{sqrt{2}} + frac{1}{2} imesfrac{1}{sqrt2} ewline = frac{sqrt3 + 1}{2sqrt2} .In alternativa possiamo anche utilizzare l'identità cos(-x) = cos(x) e utilizzare il valore di cos(15°) calcolato nell'esempio 5.
Esempio 8: calcola l'area sotto il grafico della funzione coseno per x = 0 fino a x = π/2.
Soluzione:
L'area data può essere calcolata risolvendo il seguente integrale definito:
int_0^{frac{pi}{2}}cos(x)dx ewline = sin(frac{pi}{2}) – sin(0) ewline = 1 – 0 ewline = 1 Pertanto, la risposta è 1 unità quadrata.
Esempio 9: Se cos(x) = π/3, trovare il valore di cos(3x) (in forma decimale con precisione a due cifre decimali).
Soluzione:
Utilizzando l'identità – cos(3x) = 4cos3(x) – 3cos(x) –
cos(3x) = 4⨉(π/3)3-3⨉(π/3) ≅ 4,59 – π = 1,45
Esempio 10: trovare il valore di cos(120°).
Soluzione:
Utilizzo dell'identità per cos(2x)
cos(120°) = cos(2⨉60°) = 1 – 2 sin2(60°) = 1- 2⨉(√3/2)2= 1 – 3/2 = -1/2
Domande pratiche: funzioni Cos
Q1. Qual è la formula per calcolare il cos di un angolo in un triangolo rettangolo?
Q2. Qual è l'interpretazione geometrica del cos sul piano cartesiano?
Q3. Calcolare il valore di cos(120°).
Q4. Trova il valore di cos -1 (√3/2) nell'intervallo [π, 2π].
Q5. Se un palo proietta sul terreno un'ombra della stessa lunghezza, calcola l'angolo del sole rispetto al suolo se il sole è rivolto ad est.
Sommario – Funzione coseno
La funzione coseno, indicata come cos(x), è una funzione trigonometrica fondamentale definita come il rapporto tra la base e l'ipotenusa in un triangolo rettangolo ed è essenziale in vari campi come fisica, ingegneria e geometria a causa della sua natura periodica , che è determinante nella modellazione dei comportamenti delle onde. Ha il dominio di tutti i numeri reali e un intervallo compreso tra -1 e 1, ripetendo il suo ciclo ogni 2 Pi radianti o 360 gradi, evidente dal suo grafico ondulato che inizia da (0,1). In termini di calcolo, la derivata di cos(x) è − sin( X ), e il suo integrale dà sin( X )+ C , con C come costante di integrazione. Questa funzione si estende anche alle forme iperboliche, come cosh(x), migliorandone l'applicazione in vari contesti e soluzioni matematiche, inclusi i calcoli delle onde e le oscillazioni nei sistemi fisici.
Funzione coseno: domande frequenti
1. Cos'è la funzione coseno?
La funzione coseno è una delle funzioni trigonometriche fondamentali. In un triangolo rettangolo è definita come il rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente all'angolo interessato e la lunghezza dell'ipotenusa.
2. Cos e coseno sono uguali in trigonometria?
SÌ. cos è un'abbreviazione/forma abbreviata della funzione coseno.
3. Qual è l'intervallo della funzione Cos?
L'intervallo della funzione coseno o coseno comprende tutti i numeri reali compresi tra -1 e 1, ovvero [-1,1].
4. Qual è il dominio della funzione Cos?
Il dominio della funzione coseno o coseno è il ser di tutti i numeri reali, cioè R .
5. Qual è il valore massimo della funzione coseno?
Il valore massimo della funzione coseno è 1 per tutti gli angoli equivalenti a 0° o 360°.
6. Qual è il valore minimo della funzione coseno?
Il valore minimo della funzione coseno è -1 per tutti gli angoli equivalenti a 180°.
7. Come trovare il valore di Cos(-x)?
Il valore di cos(-x) può essere calcolato calcolando il valore di cos(x) a causa dell'esistenza della seguente identità: cos(-x) = cos(x).
8. Come rappresentare graficamente la funzione coseno?
Per disegnare il grafico della funzione coseno su un piano cartesiano, fare riferimento all'asse x che rappresenta gli angoli in radianti (o gradi) e all'asse y che rappresenta i valori della funzione coseno per l'angolo corrispondente sull'asse x. Ora,
- Passo 1: Prendi un sottoinsieme dell'asse x per il quale desideri disegnare il grafico.
- Passo 2: Dividi l'asse x in questo intervallo in punti equidistanti (vale a dire, c'è lo stesso spazio tra tutti i sottopunti). Notare che maggiore è il numero di divisioni, maggiore è la precisione del grafico risultante.
- Passaggio 3: Per ciascuno di questi sottopunti x, segnare il punto (x, cos(x)) sul grafico.
- Passaggio 4: Unisci tutti i punti contrassegnati per ottenere il grafico della funzione coseno (per il sottoinsieme dell'asse x selezionato).
9. Come trovare il periodo di una funzione coseno?
Il periodo di una funzione coseno si riferisce all'intervallo minimo di valori dopo il quale la funzione inizia a ripetersi. Sappiamo che la funzione coseno si ripete dopo ogni rotazione completa, il che significa 2π radianti. Pertanto, il periodo della funzione coseno è 2π radianti o 360°.
10. Cos'è l'ampiezza di una funzione coseno?
L'ampiezza di una funzione coseno si riferisce allo spostamento massimo del valore della funzione dalla posizione media, ovvero dall'asse x. L'ampiezza della funzione coseno è 1 poiché lo spostamento massimo è 1 (per i valori -1 e 1 rispettivamente a 180 e 0 gradi. Si noti che l'intervallo della funzione coseno è [-ampiezza, ampiezza].