Il cerchio unitario è un cerchio il cui raggio è 1. Il centro del cerchio unitario si trova nell'origine (0,0) sull'asse. IL circonferenza del cerchio unitario è 2π unità, mentre l'area del cerchio unitario è π unità². Porta tutte le proprietà di Circle. Il cerchio unitario ha l'equazione x²+ e²= 1. Questo cerchio unitario aiuta a definire vari concetti trigonometrici.

Cerchio unitario

Il Cerchio Unitario è spesso indicato come S¹la generalizzazione a dimensioni superiori è la sfera unitaria. Di seguito comprendiamo di più su Cerchio unitario, Formula ed esempi risolti in dettaglio.

Cos'è il cerchio unitario?

Il cerchio unitario è un cerchio che ha un raggio di una (1) unità. Usiamo il piano cartesiano per disegnare un cerchio unitario e un cerchio unitario è un polinomio di 2 gradi con due variabili. Il cerchio unitario ha varie applicazioni in trigonometria e algebra e viene utilizzato principalmente per trovare i valori di diversi rapporti trigonometrici come sin x, cos x, tan x e altri.

Definizione del cerchio unitario

In matematica si definisce circonferenza unitaria il luogo di un punto fisso che si trova a una distanza di un'unità dal centro della circonferenza. Una circonferenza unitaria ha il raggio di una unità e da qui il nome circonferenza unitaria.

Equazione della circonferenza unitaria

Sappiamo che l’equazione di ogni cerchio con centro (h, k) e raggio “r” è:

(x-h) ² + (y – k) ² = r ²

Per un cerchio unitario sappiamo che r è 1 unità e quindi l'equazione del cerchio unitario è,

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(x-h) ² + (y – k) ² = 1

Formula del cerchio unitario

Se il centro della circonferenza unitaria è l'origine, cioè (h, k) = (0, 0), allora l'equazione della circonferenza unitaria è:

X ² + e ² = 1

Un cerchio unitario è rappresentato nell'immagine aggiunta di seguito, con coordinate centrali h, k e quando il cerchio è nell'origine il valore di h e k è zero e il raggio AP è uguale a 1 unità.

Funzioni trigonometriche che utilizzano il cerchio unitario

L'applicazione del teorema di Pitagora a una circonferenza unitaria può essere utilizzata meglio per comprendere le funzioni trigonometriche. Per questo, consideriamo un triangolo rettangolo posizionato all'interno di una circonferenza unitaria nel piano delle coordinate cartesiane. Se notiamo, il raggio di questo cerchio denota l'ipotenusa del triangolo rettangolo.

Il raggio del cerchio forma un vettore. Ciò porta alla formazione di un angolo, diciamo θ, con l'asse x positivo. Supponiamo che x sia rispettivamente la lunghezza della base e y la lunghezza dell'altezza del triangolo rettangolo. Inoltre, le coordinate dei punti finali del raggio vettore sono rispettivamente (x, y).

Il triangolo rettangolo ha rispettivamente i lati 1, x e y. Il rapporto trigonometrico può ora essere calcolato come segue:

sin θ = Altitudine/Ipotenusa = y/1

cos θ = Base/Ipotenusa = x/1

Ora,

• peccato θ = y
• cosθ = x
• tanθ = sinθ /cosθ = y/x

Sostituendo i valori di θ si ottengono i valori principali di tutte le funzioni trigonometriche. Allo stesso modo si trovano valori di funzioni trigonometriche a valori diversi.

Cerchio unitario con Sin Cos e Tan

Qualsiasi punto sulla circonferenza unitaria con le coordinate (x, y), è rappresentato utilizzando identità trigonometriche come (cosθ, sinθ). Le coordinate degli angoli del raggio rappresentano il coseno e il seno dei valori θ per un particolare valore di θ e la linea del raggio. Abbiamo cos θ = x e sin θ = y. Ci sono quattro parti di un cerchio, ciascuna situata in un quadrante, che forma un angolo di 90°, 180°, 270° e 360°. I valori del raggio sono rispettivamente compresi tra -1 e 1. Inoltre, i valori sin θ e cos θ sono rispettivamente compresi tra 1 e -1.

Cerchio unitario e identità trigonometriche

Le identità trigonometriche del cerchio unitario per cotangente, secante e cosecante possono essere calcolate utilizzando le identità per seno, cos e tan. In conclusione, otteniamo un triangolo rettangolo con i lati 1, x e y rispettivamente. Il calcolo delle identità del cerchio unitario può essere espresso come,

• peccato θ = y/1
• cosθ = x/1
• marrone chiaro θ = y/x
• secθ = 1/x
• cosecθ = 1/a
• lettino θ = x/y

Grafico del cerchio unitario

Il grafico del cerchio unitario è un grafico che contiene il valore della funzione trigonometrica seno e coseno per vari angoli. Il grafico del cerchio unitario per lo stesso viene aggiunto di seguito,

Tavolo circolare unitario

I rapporti trigonometrici utilizzati nella tabella del cerchio unitario vengono utilizzati per elencare le coordinate dei punti sul cerchio unitario che corrispondono agli angoli comuni.

Identità pitagoriche del Cerchio unitario

Esistono tre identità pitagoriche e tutte possono essere facilmente dimostrate utilizzando il concetto di cerchio unitario: le tre identità pitagoriche sono,

• senza²θ + cos²θ = 1
• 1 + così²θ = sez²io
• 1 + lettino²θ = cosec²io

Piano complesso del cerchio unitario

Numeri complessi e Piano Complesso sono facilmente spiegabili utilizzando il concetto di circonferenza unitaria. L'equazione della circonferenza unitaria in forma complessa è:

|z| = 1

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O

X ² + e ² = 1

Nella forma di Eulero il numero complesso è rappresentato come:

z = e ^Esso = cos t + i(sin t)

Per saperne di più

• Tavola trigonometrica
• Identità trigonometriche
• Identità trigonometriche inverse

Esempi risolti sul cerchio unitario

Q1: Dimostrare che il punto Q giace su una circonferenza unitaria, Q = [1/√(6), √4/√6]

Soluzione:

Dato,

• Q = [1/√(6), √4/√6]

x = 1/√(6), y = √4/√6

L'equazione del cerchio unitario è:

X²+ e²= 1

LHS = (1/√(6))²+ (√4/√6)²

LHS = 1/6 + 4/6 = 5/6 ≠ 1

Sinistra ≠ Destra

Pertanto, il punto Q[1/√(6), √4/√6] non giace sulla circonferenza unitaria.

Q2: Calcola quindi 30 ^O utilizzando i valori seno e cos della circonferenza unitaria.

Soluzione:

abbronzatura 30° utilizzando i valori sin e cos,

abbronzatura 30° = (sen 30°)/ (cos 30°)

• senza 30° = 1/2
• cos 30° = √(3)/2

marrone chiaro 30° = 1/2/√(3)/2

abbronzatura 30° = 1/√(3)

Q3: Convalidare se il punto P [1/2, √(3)/2] si trova sulla circonferenza unitaria.

Soluzione:

Dato,

P = [1/2, √(3)/2]

• x = 1/2
• y = √(3)/2

L'equazione del cerchio unitario è:

• X²+ e²= 1

LHS

= (1/2)²+ (√(3)/2)²

= 1/4 + 3/4

= (1 + 3)/4 = 4/4

= 1

= destra

Domande pratiche sul cerchio unitario

Q1. Controlla se i punti A (1/2, 3/2) si trovano su un cerchio unitario.

Q2. Controlla se i punti A (2, 1/2) si trovano su un cerchio unitario.

Q3. Trovare il valore di cos 240°

Q4. Trova il valore di tan 320°

Q5. Trova il valore del peccato 160°

Cerchio unitario – Domande frequenti

Cos'è il cerchio unitario?

Una circonferenza unitaria è definita come la posizione di un punto ad una unità di distanza da un punto fisso. Ha un centro in (0,0) e il valore del suo raggio è 1.

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Come verificare se un punto si trova su un cerchietto unitario?

Qualsiasi punto che giace in un piano 2D che sia della forma (x, y) viene inserito nell'equazione della circonferenza unitaria x²+ e²= 1 per verificare se giace sul cerchio oppure no.

Qual è la formula del cerchio unitario?

La formula del cerchio unitario è una formula utilizzata per rappresentare algebricamente un cerchio unitario. La formula del cerchio unitario è data come,

X ² + e ² = 1

Perché si chiama Cerchio unitario?

Una circonferenza unitaria è detta circonferenza unitaria perché ha un raggio di una (1) unità.